Влияние трения на свободные колебания системы с n степенями свободы
Дифференциальные уравнения движения изменятся, если учесть, что при колебаниях возникают силы трения. Рассмотрим случай, когда силы трения линейно зависят от скоростей точек системы (вязкое трение).
Дифференциальные уравнения (31) в этом случае принимают вид
(55)или в матричной форме
,где
- (56)матрица демпфирования.
Решение уравнений (55) будем искать в виде
. (57)
После подстановки (57) в (55) получим однородную систему алгебраических уравнений относительно амплитуд колебаний
, которая в матричной форме выглядит так: . (58)Ненулевое решение системы (58) возможно тогда и только тогда, когда её определитель равен нулю, что приводит к частотному уравнению
. (59)Если все элементы матрицы демпфирования (56) неотрицательные, то вещественные части всех корней характеристического уравнения - отрицательные. При этом среди корней уравнения (59) могут оказаться отрицательные вещественные корни, каждому из которых, согласно (57), соответствует монотонное затухающее движение неколебательного характера. Наряду с этим, среди корней могут оказаться и комплексные сопряжённые корни вида
; . Им соответствует затухающее колебательное движение, описываемое выражением .Общее решение задачи получится как результат наложения всех частных решений.