Свободные колебания систем с конечным числом степеней свободы (общий случай)
Как уже говорилось (см. подразд. 1.4), дифференциальные уравнения движения таких систем можно получить тремя основными способами: 1) в форме уравнений Лагранжа; 2) прямым способом; 3) обратным способом.
Наиболее общий вид дифференциальных уравнений движения может быть получен в форме уравнений Лагранжа
, (29)где K и П - кинетическая и потенциальная энергии соответственно;
и - обобщённые координаты и обобщённые скорости; число степеней свободы системы.Известно, что при малых колебаниях около положения равновесия кинетическая и потенциальная энергии выражаются через обобщённые координаты и обобщённые скорости следующим образом:
; , (30)
где
инерционные коэффициенты; квазиупругие коэффициенты, называемые также обобщёнными коэффициентами жёсткости.Подставляя (30) в (29), получим систему однородных линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами:
, (31)Однако составление уравнений движения по схеме Лагранжа не является обязательным, потому что во многих случаях прямой или обратный способы оказываются более удобными.
Рассмотрим особенности названных способов на примере системы с двумя степенями свободы, состоящей из тел с массами
и ,соединённых пружинами с жесткостями и (рис. 22,а).За обобщённые координаты примем горизонтальные перемещения
игрузов, отсчитываемые от положения равновесия, в которых отсутствуют деформации пружин. Удлинения пружин в процессе движения: ; .Основной способ (уравнения Лагранжа)
Кинетическая энергия рассматриваемой системы:
.Потенциальная энергия деформации пружин:
.Вычислим производные, необходимые для подстановки в уравнения Лагранжа:
; ; ; ; ; .Подставляя вычисленные значения в (29), получим дифференциальные уравнения движения рассматриваемой системы
(32)
Прямой способ
Выделяем массы
и и рассматриваем их как свободные тела под действием сил упругости, определяемых удлинениями и обеих пружин (рис. 22,б):Дифференциальные уравнения движения грузов имеют вид
Подставляя значения и , получим
т.е. эти уравнения совпали с уравнениями (32).
а б
в
Рис. 22