в точках расположения масс m1
Прикладываем поочередно силу в точках расположения масс m1 и m2 и строим эпюры изгибающих моментов (рис. 29,б).
Путем перемножения соответствующих эпюр способом Верещагина вычисляем единичные перемещения:
Частотный определитель:
,
Рис. 29
или
где
Частотное уравнение:
Собственные частоты колебаний:
Система алгебраических уравнений относительно амплитуд колебаний А1 и А2:
Полагая А1=1, находим А2 из первого уравнения системы сначала при , а затем при :
Формы колебаний представлены на рис. 29,г,д.
Проверяем выполнение условия ортогональности:
Пример 8. Определитель частоты свободных колебаний балки с тремя равными сосредоточенными массами m (рис. 30,а), если m=0,5 ; =8 м;
Решение
Так как система и расположенные на ней массы симметричны, то задача может быть решена с использованием симметрии.
Строим единичные эпюры изгибающих моментов
(рис. 30,б,в,г).
Вычисляем единичные перемещения путем перемножения соответствующих эпюр по способу Верещагина:
.
Рис. 30
Определитель для симметричных колебаний составляем с учетом того, что перемещения от групповой силы , состоящей из двух сил, получились удвоенными, поэтому соответствующая масса вводится с коэффициентом 0,5:
,
или
Соответствующее частотное уравнение:
Собственные частоты симметричных колебаний:
Частотное уравнение для обратно симметричных колебаний:
Пример 9. Определить собственные частоты и формы колебаний системы, состоящей из трех дисков с моментами инерции масс укрепленных на стальном валу с жестокостями (рис. 28,б).
Уравнения движения системы, составленные прямым методом, таковы:
Решение системы ищем в виде
После подстановки получаем систему однородных алгебраических уравнений:
Приравнивая определитель системы нулю и раскрывая его, получим частотное уравнение
Собственные частоты колебаний:
Нулевая частота соответствует повороту вала и дисков как жесткого целого.
Для ненулевых частот определяем собственные формы колебаний, принимая А2 = 1.
Соотношение между амплитудами:
Первая форма колебаний при :
Вторая форма колебаний при :
Пример 10. Методом последовательных приближений определить две низших частоты собственных колебаний судовой дизельной установки по уточненной схеме, состоящей из дисков 1-6, к которым приведены кривошипы двигателей, маховика 7 и гребного винта 8 с присоединенными массами гребного вала и воды (рис.31,а) при следующих данных:
Значения частот в первом приближении определить для упрощенной трехдисковой схемы (рис. 31,б).
Рис. 31
Для приближенного определения двух низших частот образуем упрощенную схему (рис.31,б), в которой первые шесть дисков заменены одним общим, причем
Длина участка в упрощенной схеме в 3,5 раза больше длины каждого участка между дисками 1-6 в исходной схеме, поэтому жесткости участков вала в упрощенной схеме
Таблица 1
№ диска |
I |
|
A |
|
|
C |
|
1 |
0,28 |
144,48 |
1,000 |
144,48 |
144,48 |
2.104 |
0,007 |
2 |
0,28 |
144,48 |
0,993 |
143,47 |
287,95 |
2.104 |
0,014 |
3 |
0,28 |
144,48 |
0,979 |
141,45 |
429,40 |
2.104 |
0,021 |
4 |
0,28 |
144,48 |
0,958 |
138,34 |
567,74 |
2.104 |
0,028 |
5 |
0,28 |
144,48 |
0,930 |
134,31 |
702,05 |
2.104 |
0,035 |
6 |
0,28 |
144,48 |
0,895 |
129,29 |
831,34 |
2.104 |
0,042 |
7 |
8,4 |
4334,4 |
0,853 |
3699,12 |
4530,46 |
1,2.103 |
3,775 |
8 |
3,0 |
1548,0 |
-2,922 |
-4523,85 |
6,61 |
Приближенные значения двух низших частот:
В качестве первого приближения для уточнения первой собственной частоты колебаний принимаем . Результаты расчетов представлены в табл. 1.
Полученное значение остатка = 6,61 означает, что принятое в первом приближении значение незначительно отличается от истинного, поэтому во втором приближении принимаем: . Результаты расчетов сведены в табл. 2.
Таблица 2
№ диска |
I |
|
A |
|
|
C |
|
1 |
0,28 |
148,4 |
1,000 |
148,4 |
148,4 |
2.104 |
0,007 |
2 |
0,28 |
148,4 |
0,993 |
147,3 |
295,7 |
2.104 |
0,015 |
3 |
0,28 |
148,4 |
0,978 |
145,2 |
440,9 |
2.104 |
0,022 |
4 |
0,28 |
148,4 |
0,956 |
141,9 |
582,8 |
2.104 |
0,029 |
5 |
0,28 |
148,4 |
0,927 |
137,6 |
720,4 |
2.104 |
0,036 |
6 |
0,28 |
148,4 |
0,891 |
132,2 |
852,6 |
2.104 |
0,043 |
7 |
8,4 |
4452,0 |
0,848 |
3776,9 |
4629,5 |
1,2.103 |
3,858 |
8 |
3,0 |
1590,0 |
-3,01 |
-4785,8 |
-156,3 |
Частотное уравнение (75) после подстановки в него заданных числовых значений принимает вид
Собственные частоты:
Для определения собственных форм колебаний воспользуемся формулой (76)
Собственные формы колебаний представлены на рис. 34,а,б.
Рис. 34
Первая форма представляет собой, в основном, «подпрыгивание» кузова, а вторая - «галопирование».
Убедимся в ортогональности этих форм. Условие ортогональности имеет вид
Частота возмущающей силы:
При наступлении резонанса , т.е.
,
отсюда находим длину балки при резонансе:
Для выполнения условия двигатель нужно расположить на расстоянии:
Амплитуда вынужденных колебаний:
где прогиб от статического действия силы
Статический прогиб от собственного веса двигателя:
Статическое напряжение:
.
Динамический коэффициент:
.
Динамическое напряжение:
Пример 13. К валу переменного сечения с жёстко заделанными концами прикреплён маховик, на который действует переменный момент (рис.46,б). Определить максимальные касательные напряжения в левой и правой частях вала, если коэффициент сопротивления Массой вала пренебречь.
а
б
Рис. 46
Жёсткость вала:
Собственная частота колебаний:
Угол поворота маховика от действия момента, равного амплитуде возмущающего момента:
.
Амплитуда колебаний:
Соответствующий динамический момент:
Максимальные касательные напряжения в левой и правой частях вала:
Пример 14. Вдоль пути синусоидального профиля (рис.47) с постоянной горизонтальной скоростью V движется колесо, на котором упруго подвешен груз массой m. Определить наибольшее допустимое значение коэффициента жёсткости подвески С, если требуется, чтобы амплитуда абсолютных колебаний груза не превышала .
Рис. 47
Подставляя в уравнение профиля пути , найдём ординаты нижнего конца пружины в функции времени:
Обозначая через у абсолютное вертикальное перемещение груза, отсчитываемое от равновесного уровня, дифференциальное уравнение движения запишем в виде
или
.
Отсюда следует, что эквивалентная вынуждающая сила
,
т.е. её амплитуда равна .
Амплитуда абсолютных колебаний груза:
.
По условиям задачи , следовательно,
< 0.5,
тогда
c < .
Пример 15. Двигатель весом 2,4 т установлен на десяти одинаковых пружинах диаметром . Диаметр сечения витка пружины ; модуль сдвига материала пружины ; частота вращения двигателя . Определить число витков пружины, необходимое для того, чтобы динамический коэффициент установки был равен 0,2.
Отношение определим, используя поставленное в условиях задачи ограничение:
.
Частота возмущающей силы:
.
Необходимое значение собственной частоты:
.
Необходимая жёсткость всех пружин:
.
Число витков:
.
Следует принять, по крайней мере, 17 витков, так как увеличение числа витков снижает жёсткость системы и уменьшает динамический коэффициент. Если принять , то динамический коэффициент окажется больше, чем задано в условиях задачи.
Пример 16. На двух балках посередине пролёта установлен двигатель массой . Балки (двутавр №20) имеют шарнирное опирание по концам. Ротор двигателя массой имеет эксцентриситет . Определить, при какой частоте вращения наступает резонанс и чему равно при этом нормальное максимальное напряжение. Коэффициент сопротивления ; длина пролёта ; . Учесть массу балок.
Приведенная масса системы:
,
где погонная масса балки.
Собственная частота колебаний:
.
Принимая , находим частоту вращения двигателя при резонансе:
.
Статический прогиб от амплитудного значения возмущающей нагрузки:
; .
Амплитуда колебаний:
.
Статический прогиб:
.
Статическое напряжение:
.
Динамическое напряжение:
.
Уравнение движения масс:
Решение уравнений ищем в виде
После подстановки получим систему алгебраических уравнений
Единичные эпюры моментов, необходимые для вычисления коэффициентов представлены на рис.53,б,в.
Перемножая соответствующие эпюры по способу Верещагина, получим значения перемещений
Частота вибрационной нагрузки:
После подстановки в систему алгебраических уравнений находим амплитуды колебаний:
Рис. 53
Соответствующие динамические нагрузки и Fg2 определяем из системы уравнений
Так как А1 и А2 близки по величине, то м,
тогда кн.
С учетом статической нагрузки находим
кн.
Максимальное напряжение в балках:
.
Пример 18. Построить эпюру динамических изгибающих моментов для невесомой балки пролетом l = 4м при действии возмущающей силы (рис.54,а), если
Решение.
Опуская вид единичных эпюр(см. пример 7), приведем значения перемещений :
Эпюра от амплитудного значения возмущающей силы показана на рис.54,б.
Перемножая эпюру с эпюрами и (рис.29) находим:
Рис. 54
Собственные частоты колебаний балки вычислены ранее (пример 7) и равны:
«Исправленные» главные перемещения:
Система канонических уравнений динамического варианта метода сил для вычисления сил инерции X1 и X2 имеет вид:
После подстановки числовых значений коэффициентов получим:
Силы инерции:
Используя формулу:
строим эпюру динамических изгибающих моментов Mдин (рис.54,в).
Пример 19. Построить эпюру динамических изгибающих моментов в симметричной раме (рис.55,а) при действии на нее симметричной динамической нагрузки и Частота возмущающих сил Сосредоточенные массы одинаковы и располагаются посредине каждого стержня.
Решение.
Так как вибрационная нагрузка симметрична, то формы вынужденных колебаний также будут симметричными. Групповые симметричные неизвестные силы инерции показаны на рис.55,б. Эпюры моментов от единичных сил и , действующих по направлению сил инерции, показаны на рис.55,в,г,д.
Точное значение низшей частоты такой консоли вычислено Кирхгофом в виде
.
Для приближенного решения принимаем
Каждый член этого разложения удовлетворяет граничным условиям задачи
, при х=.
Если ограничиться одним членом разложения, то по методу Рэлея
,
при этом ошибка составляет около 3 %.
Чтобы получить лучшее приближение, возьмем два члена разложения, подставив их в (274),
.
Дифференцируя это выражение по С1 и С2 поочередно, приходим к системе уравнений
.
Приравнивая нулю определитель, составленный из коэффициентов этих уравнений, получим частотное уравнение, меньший корень которого
,
что даёт ошибку 0,1 %.