Частотное уравнение и собственные формы
Развёрнутая запись граничных условий приводит к однородным уравнениям относительно постоянных C1, C2, C3, C4.
Чтобы эти постоянные не равнялись нулю, должен равняться нулю определитель, составленный из коэффициентов системы; это приводит к частотному уравнению. При этих операциях выясняются соотношения между C1, C2, C3, C4, т.е. определяются собственные формы колебаний (с точностью до постоянного множителя).
Проследим составление частотных уравнений на примерах.
Для балки с шарнирно-опёртыми концами согласно (203) имеем следующие граничные условия: X=0; X''=0 при x=0 и x=
. При помощи (197)-(200) получим из первых двух условий: C1=C3=0. Два оставшихся условия можно записать в видеЧтобы C2 и C4 не были равны нулю, необходимо равенство нулю определителя:
.Таким образом, частотное уравнение имеет вид
.Подставляя выражения T и U, получим
.Так как
, то окончательно частотное уравнение записывается так: . (207)Корни этого уравнения:
, (n=1,2,3,...).Учитывая (196), получим
. (208)Перейдём к определению собственных форм. Из записанных выше однородных уравнений вытекает следующее соотношение между постоянными C2 и C4:
.Следовательно, (197) приобретает вид
или
Согласно (207), имеем
, (209)где
- новая постоянная, значение которой остаётся неопределённым, пока не введены в рассмотрение начальные условия.